Matematika & IAD 2

1. Apa Matematika itu ?

   Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

• Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan

   Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

   Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

• Apakah matematika ilmu yang ‘sulit’?

   Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.

Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.

   Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.

• Matematika sebagai bahasa

   Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.

   Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan “Telu”, sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan “Tiga”. Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.

   Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.

   Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

   Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika dari fenomena.

• Ikhtisar

   Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.

   Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.

   Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

   Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois.

   Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

   Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.

   Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.

   Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

   Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. 

   Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.

• Topik dalam matematika

Daftar bahasan dalam matematika dan subklasifikasinya dapat dilihat dalam daftar alfabet.

Daftar topik dan sub klasifikasi dibawah ini merupakan gambaran matematika secara umum.

• Kuantitas

Pada dasarnya, topik dan ide ini menyajikan ukuran jelas dari bilangan atau kumpulan, atau jalan untuk menemukan semacam ukuran.

Bilangan – Bilangan dasar – Pi – Bilangan bulat – Bilangan rasional – Bilangan riil – Bilangan kompleks – Bilangan hiperkompleks – Quaternion – Oktonion – Sedenion – Bilangan hiperriil – Bilangan surreal – Bilangan urutan – Bilangan pokok – Bilangan P-adic – Rangkaian bilangan bulat – Konstanta matematika – Nama bilangan – Ketakterbatasan – Dasar – Sudut Jarum Jam

• Perubahan

Topik-topik berikut memberi cara untuk mengukur perubahan dalam fungsi matematika, dan perubahan antar angka.

Aritmetika – Kalkulus – Kalkulus vektor – Analisis – Persamaan diferensial – Sistem dinamis dan teori chaos – Daftar fungsi

• Struktur

Cabang berikut mengukur besar dan simetri angka, dan berbagai konstruk.

Aljabar abstrak – Teori bilangan – Geometri aljabar – Teori grup – Monoid – Analisis – Topologi – Aljabar linear – Teori grafik – Aljabar universal – Teori kategori – Teori urutan

• Ruang

Topik-topik berikut mengukur pendekatan visual kepada matematika dari topik lainnya.

Topologi – Geometri – Trigonometri – Geometri Aljabar – Geometri turunan – Topologi turunan – Topologi aljabar – Algebra linear – Geometri fraktal

• Matematika diskrit

Topik dalam Matematika diskrit berhadapan dengan cabang matematika dengan objek yang dapat mengambil harga tertentu dan terpisah.

Kombinasi – Teori himpunan naif – Kemungkinan – Teori komputasi – Matematika terbatas – Kriptografi – Teori Gambar – Teori permainan

• Matematika terapan

Bidang-bidang dalam Matematika terapan menggunakan pengetahuan matematika untuk mengatasi masalah dunia nyata.

Mekanika – Analisa Numerik – Optimisasi – Probabilitas – Statistik – Matematika Finansial (keuangan) – Metoda Numerik

• Konjektur dan teori-teori yang terkenal

Teorema-teorema itu telah menarik matematikawan dan dan yang bukan matematikawan.

Teori terakhir Fermat – Konjektur Goldbach – Konjektur Utama Kembar – Teorema ketidaklengkapan Gödel – Konjektur Poincaré – Argumen diagonal Cantor – Teorema empat warna – Lema Zorn – Identitas Euler – Konjektur Scholz – Tesis Church-Turing

• Teori dan konjektur penting

Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.

Hipotesis Riemann – Hipotesis Continuum – P=NP – Teori Pythagorean – Central limit theorem – Teordi dasar kalkulus – Teori dasar aljabar – Teori dasar aritmetik – Teori dasar geometri proyektif – klasifikasi teorema permukaan – Teori Gauss-Bonnet

• Dasar dan metode

Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subyek mereka.

Filsafat matematika – Intuisionisme matematika – Konstruktivisme matematika – Dasar matematika – Teori pasti – Logika simbol – Teori model – Teori kategori – Logika – Matematika kebalikan – Daftar simbol matematika

• Sejarah dunia para matematikawan

Sejarah matematika – Garis waktu matematika – Matematikawan – Medali bidang – Hadiah Abel – Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay) – International Mathematical Union – Pertandingan matematika – Pemikiran lateral – Kemampuan matematika dan masalah gender

• Matematika dan bidang lainnya

Matematika dan arsitektur – Matematika dan pendidikan – Matematika skala musik

• Kejadian Kebetulan Matematika

Daftar Kejadian Kebetulan Matematika

• Peralatan Matematika

Dulu:

• Abacus
• Tulang Napier, Jangka sorong
• Penggaris dan Kompas
• Perhitungan biasa

Sekarang:

• Kalkulator dan komputer
• Bahasa pemrograman
• Sistem komputer aljabar (listing)
• Notasi sederhana Internet
• Analisis statistik software
• SPSS
• SAS

2. Apa yang  dimaksud Ilmu Alamiah Dasar ?

   Ilmu Alamiah Dasar merupakan kumpulan pengetahuan tentang konsep-konsep dasar dalam bidang ilmu pengetahuan alam dan teknologi. Dan, manusia sebagai subjek pokoknya yang dalam hal ini merupakan makhluk hidup yang paling tinggi kedudukannya. Salah satu indikatornya ialah sifat unik manusia. Dibandingkan dengan makhluk lain, jasmani manusia adalah lemah, tetapi rohani atau akal budi dan kemauannya sangat kuat. Umumnya dikatakan bahwa manusia dan binatang berbeda karena akal budi yang dimilikinya. Akal bersumber pada otak. Dan, budi bersuber pada jiwa. Oleh karena itu, sejalan dengan perkembangannya menusia memanfaatkan akal budi yang dimilikinya dan juga ditunjang dengan rasa ingin tahu, maka berkembanglah pula ilmu pengetahuan yang dimiliki oleh manusia. Perkembangan pengetahuan pun lebih berkembang lagi manakala ditunjang dengan adanya tukar menukar informasi antar manusia.

   Pada zaman dahulu akibat dari terbatasnya peralatan untuk memperoleh pengetahuan, maka untuk menjawab keingintahuan tentang alam, manusia pada saat itu menciptakan mitos. 

 Sehingga mitos pun digolongkan menjadi tiga, yaitu mitos sebenarnya, cerita rakyat, danlagenda. Sehingga terdapat beberapa cara untuk mendapatkan kesimpulan, diantaranya prasangka (perasaaan), intuisi (batiniah), dan  coba-ralat/trialerror (untung-untungan).

   Untuk itu diperlukanlah syarat-syarat tertentu agar suatu ilmu itu dapat sesuai dengan keadaannya bukan dengan prasangka, intuisi, maupun coba-ralat/trial error. Adapun syaratnya, yaitu obyektif, metodik, sistematik, dan universal.

   Dan, untuk dapat memenuhi syarat ilmu pengetahuan seperti yang tersebut di atas, maka diperlukanlah metode ilmiah. Metode ilmiah adalah cara atau  prosedur dalam memperoleh pengetahuan secara ilmiah. Dalam hal ini, metode ilmiah menggabungkan cara berpikir induktif dan cara berpikir deduktif dalam membangun tubuh pengetahuannya.

   Cara berpikit deduktif adalah cara berpikir di mana ditarik kesimpulan yang bersifat khusus dari pernyataan yang bersifat umum. Penarikan kesimpulan secara deduktif biasanya mempergunakan pola berpikir yang dinamakan silogismus. 

   Silogismus tersusun dari dua buah pernyataan (premis mayor/minor) dan sebuah kesimpulan. Cara berpikir induktif terkait dengan pengetahuan rasionalisme. Rasionalisme adalah paham yang berpendapat bahwa rasio adalah sumber kebenaran. Cara berpikir induktif adalah kebalikan dari cara berpikir deduktif. Sehingga, dalam prakteknya diperlukan empirisme, yaitu paham yang berpendapat bahwa fakta yang tertangkap lewat pengalaman manusia merupakan sumber kebenaran.

   Seiring dengan bertambahnya kebutuhan manusia akan ilmu pengetahuan, maka ilmu pengetahuan yang terutama alam pun semakin berkembang. 

   Pada Zaman Kuno ilmu pengetahuan alam yang diperoleh masih bersumber pada trial error, namun didukung oleh kemampuan menulis. Sehingga pada zaman ini dihasilkan pengamatan dan pencatatan peredaran matahari, ahli astronomi Babilonia menetapkan pembagian waktu (tahun=12bulan, minggu=7hari, hari=24jam, jam=60menit, menit=60detik).

    Zaman Yunani Kuno, pada tahap ini, manusia mulai mengadakan penyelidikan (inquiring). Adapun beberapa tokohnya : Thales (624-548SM), Phytagoras (580-500SM), Socrates (470-399SM), Leucipus dan Democritus (460-370SM), Aristoteles (384-322SM), dan Archimedes  (287-212SM).

  Zaman Pertengahan, dibagi menjadi dua     : Zaman Alkimia dimana ahli  kimia menambahkan tiga unsur kimia selain empat unsur sebelumnya, yaitu air raksa (logam yang mudah menjadi uap), garam (tidak dapat terbakar dan bersifat tanah), dan belerang (mudah terbakar dan member nama). Dan, Zaman Latrokimia, tokohnya : Al-Khowarizmi (780-850M), Niarizi (wafat th.922M), Ar-Razi (866-909M), Ibn Sina (980-1037M), Ibn Baithar (wafat1248M),  dan Al-Ashama’i (740-828M). 

   Zaman Modern, tokohnya      : Evangelista T.(1588-1647M), Antonio L.L(1743-1749M), dan Antony van L.(1632-1723M).

   Setelah Zaman atau fase diatas dapat digolongkan IPA Klasik dan IPA Modern. IPA Klasik, umunya bersifat tradisional. Contohnya, pada pembuatan tempe dan ragi yang secara tidak langsung didasari mikrobiologi, mikrologi, dan ilmu fisika. Dan juga, pada pembuatan gula kelapa yang menggunakan ilmu kimia dan fisika yang lebih lanjut lagi tingkatannya. IPA Modern, sudah mengalami beberapa kali pengujian, dan contonya pengolahan sampah organic menjadi energy biogas.

3. Apa Keterkaitan Matematika IAD dengan Psikologi ?

   Menurut bahasa yunani kuno psikologi berasal dari kata psikey dan logos yang atinya ilmu yang mempelajari tentang jiwa. Tidak hanya itu psikologi juga berkaitan dengan ilmu lain,seperti,psikologi dangan antropologi yang membahas manusia dengan budaya – budaya, psikologi dengan sosiologi yang membahas tentang masyarakat, psikologi dengan ekonomi yang membahas pertukaran barang dan jasa. Selain itu psikologi dengan matematika adalah untuk menghitung semua data kuantitatif agar lebih akurat. Secara lebih spesifik penghitungan matematika di gunakan untuk memeroleh teori – teori yang statistika di dalam pendidikan matematika banyak sekali teori – teori yang kita pelajari, tetapi hanya beberapa saja yg sangat berhubungan. Seperti logika, teori – teori statistika, peluang dan lainnya.

  Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai “Ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting. Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa “sejauh hukum-hukum matematika merujuk pada kenyataan, mereka tidaklah pasti, dan sejauh mereka pasti. mereka tidak merujuk pada kenyataan.

  Hubungan antara matematika dan psikologi tentunya sudah pasti sangat erat, terutama di zaman modern ini. Karena itulah evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abtraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada kebanyakan binatang, adalah tentang bilangan. Sebagai contoh : pernyataan bahwa dua Baju dan dua Jaket,  memiliki jumlah yang sama.

  Matematika juga bisa disebut sebagai ilmu Logik, contoh nya pada tes masuk Perguruan Tinggi, para calon mahasiswa/i biasanya harus mengikuti tes terlebih dahulu, yaiu sebuah tes tulis dengan materi Bahasa Inggris,dan  Matematika.  Secara tidak langsung kita akan diukur kemampuan seberapa jauh pola berfikir cepat dan cara kita menyelesaikan masalah.  Menghitung hasil dari Tes IQ juga bisa menggunakan teori statistika untuk mengetahui seberapa jauh tingkat pola fikir dengan cara menghitung distribusi frekuensi kelompok dengan ukuran tendensi sentral dan letak nilai dan yang patut kita tahu bahwa matematika membentuk pola berpikir kritis, kreatif, inovatis, dan mandiri serta mampu menyelesaikan masalah secara tepat dan dapat ditanggungjawabkan.

Sumber :

http://badaiteacher.wordpress.com/2009/06/26/apa-itu-matematika/

http://ediwahyudiug.blogspot.com/2011/10/ilmu-alamiah-dasar.html

http://marlina2403.wordpress.com/2011/02/27/hubungan-matematika-iad-dengan-psikologi/